【三角函数基本公式】三角函数是数学中非常重要的一个分支，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握三角函数的基本公式，有助于更好地理解和解决相关问题。以下是对三角函数基本公式的总结，便于查阅和记忆。
一、基本定义
设角 α 的终边与单位圆交于点 P(x, y)，则：
| 函数名称 | 表达式 | 定义域 | 值域 |
| 正弦函数 | sinα = y | R | [-1, 1] |
| 余弦函数 | cosα = x | R | [-1, 1] |
| 正切函数 | tanα = y/x | α ≠ π/2 + kπ | R（除无定义点） |
| 余切函数 | cotα = x/y | α ≠ kπ | R（除无定义点） |
| 正割函数 | secα = 1/cosα | α ≠ π/2 + kπ | (-∞, -1] ∪ [1, +∞) |
| 余割函数 | cscα = 1/sinα | α ≠ kπ | (-∞, -1] ∪ [1, +∞) |
二、基本恒等式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 平方恒等式 | sin²α + cos²α = 1 |
| 正切与余切关系 | tanα = sinα / cosα |
| 余切与正切关系 | cotα = cosα / sinα |
| 正割与余弦关系 | secα = 1 / cosα |
| 余割与正弦关系 | cscα = 1 / sinα |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变化 | 对应的三角函数值 |
| sin(-α) | -sinα |
| cos(-α) | cosα |
| tan(-α) | -tanα |
| sin(π - α) | sinα |
| cos(π - α) | -cosα |
| tan(π - α) | -tanα |
| sin(π + α) | -sinα |
| cos(π + α) | -cosα |
| tan(π + α) | tanα |
| sin(2π - α) | -sinα |
| cos(2π - α) | cosα |
| tan(2π - α) | -tanα |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和角公式 | sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ |
| 正弦差角公式 | sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ |
| 余弦和角公式 | cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ |
| 余弦差角公式 | cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ |
| 正切和角公式 | tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα tanβ) |
| 正切差角公式 | tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanα tanβ) |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | sin2α = 2 sinα cosα |
| 余弦倍角公式 | cos2α = cos²α - sin²α |
| 余弦倍角公式2 | cos2α = 1 - 2 sin²α |
| 余弦倍角公式3 | cos2α = 2 cos²α - 1 |
| 正切倍角公式 | tan2α = 2 tanα / (1 - tan²α) |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2] |
| 正切半角公式 | tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)] = (sinα)/(1 + cosα) |
七、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinα cosβ | [sin(α + β) + sin(α - β)] / 2 |
| cosα sinβ | [sin(α + β) - sin(α - β)] / 2 |
| cosα cosβ | [cos(α + β) + cos(α - β)] / 2 |
| sinα sinβ | -[cos(α + β) - cos(α - β)] / 2 |
八、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinA + sinB | 2 sin[(A + B)/2] cos[(A - B)/2] |
| sinA - sinB | 2 cos[(A + B)/2] sin[(A - B)/2] |
| cosA + cosB | 2 cos[(A + B)/2] cos[(A - B)/2] |
| cosA - cosB | -2 sin[(A + B)/2] sin[(A - B)/2] |
通过以上内容的整理，可以系统地掌握三角函数的基本公式，为后续的学习和应用打下坚实的基础。建议在学习过程中结合图形理解，并多做练习以加深记忆。