【三角函数公式总结】在数学学习中，三角函数是基础且重要的内容之一，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。为了帮助大家更好地掌握和运用这些公式，本文对常见的三角函数公式进行了系统的总结，并通过表格形式进行展示，便于查阅和记忆。
一、基本概念
三角函数是以角度为自变量的函数，通常定义在直角三角形或单位圆上。主要的六种三角函数包括：
- 正弦（sin）
- 余弦（cos）
- 正切（tan）
- 余切（cot）
- 正割（sec）
- 余割（csc）
它们之间的关系可以通过单位圆和直角三角形来理解。
二、基本公式
1. 基本定义（以直角三角形为例）：
| 函数 | 定义式 |
| sinθ | 对边 / 斜边 |
| cosθ | 邻边 / 斜边 |
| tanθ | 对边 / 邻边 |
| cotθ | 邻边 / 对边 |
| secθ | 斜边 / 邻边 |
| cscθ | 斜边 / 对边 |
2. 倒数关系：
| 公式 | 表达式 |
| sinθ = 1 / cscθ | cscθ = 1 / sinθ |
| cosθ = 1 / secθ | secθ = 1 / cosθ |
| tanθ = 1 / cotθ | cotθ = 1 / tanθ |
3. 商数关系：
| 公式 | 表达式 |
| tanθ = sinθ / cosθ | |
| cotθ = cosθ / sinθ |
4. 平方关系：
| 公式 | 表达式 |
| sin²θ + cos²θ = 1 | |
| 1 + tan²θ = sec²θ | |
| 1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式（角度转换）
用于将任意角转化为锐角的三角函数值，常见于求解周期性问题。
| 角度 | sinθ | cosθ | tanθ |
| -θ | -sinθ | cosθ | -tanθ |
| π - θ | sinθ | -cosθ | -tanθ |
| π + θ | -sinθ | -cosθ | tanθ |
| 2π - θ | -sinθ | cosθ | -tanθ |
| π/2 - θ | cosθ | sinθ | cotθ |
| π/2 + θ | cosθ | -sinθ | -cotθ |
四、和差角公式
用于计算两个角的和或差的三角函数值。
| 公式 | 表达式 |
| sin(A ± B) | sinA cosB ± cosA sinB |
| cos(A ± B) | cosA cosB ∓ sinA sinB |
| tan(A ± B) | (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角公式
用于计算一个角的两倍、三倍等的三角函数值。
| 公式 | 表达式 |
| sin2θ | 2 sinθ cosθ |
| cos2θ | cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| tan2θ | 2 tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
用于计算一个角的一半的三角函数值。
| 公式 | 表达式 |
| sin(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/2] |
| cos(θ/2) | ±√[(1 + cosθ)/2] |
| tan(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = (sinθ)/(1 + cosθ) |
七、积化和差与和差化积
用于将乘积形式转化为和差形式，或反之。
积化和差：
| 公式 | 表达式 |
| sinA cosB | [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosA cosB | [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
| sinA sinB | [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 |
和差化积：
| 公式 | 表达式 |
| sinA + sinB | 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB | 2 cos[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] |
| cosA + cosB | 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] |
| cosA - cosB | -2 sin[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] |
八、常用角度的三角函数值
| 角度（°） | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| sinθ | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cosθ | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tanθ | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | 不存在 |
结语
三角函数公式虽然繁多，但只要掌握其基本关系和推导方法，就能灵活应对各种题目。建议结合图形记忆和实际应用，加深理解。希望本文的总结能为你的学习提供帮助！