【三角函数公式是什么】在数学中，三角函数是一类非常重要的函数，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。它们用来描述直角三角形边与角之间的关系，也可以推广到单位圆和周期性现象的分析中。常见的三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）等，还有一些基本的公式可以帮助我们简化计算或解决实际问题。
以下是对常见三角函数公式的总结，并以表格形式展示其定义和基本性质。
一、基本三角函数定义
| 函数名称 | 符号 | 定义（直角三角形中） | 定义（单位圆中） |
| 正弦 | sin | 对边 / 斜边 | y |
| 余弦 | cos | 邻边 / 斜边 | x |
| 正切 | tan | 对边 / 邻边 | y/x |
二、常用三角恒等式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 基本恒等式 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ | 所有角度都成立 |
| 正切与正弦/余弦 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ | 当 $ \cos\theta \neq 0 $ 时成立 |
| 余切 | $ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} $ | 与正切互为倒数 |
| 正割 | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $ | 与余弦互为倒数 |
| 余割 | $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ | 与正弦互为倒数 |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 公式表达式 | 说明 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ | 奇函数 |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ | 偶函数 |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ | 第二象限角 |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ | 第二象限角 |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ | 第三象限角 |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ | 第三象限角 |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 正弦和角 | $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ | 用于计算两个角的正弦值 |
| 正弦差角 | $ \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ | 用于计算两个角的正弦差 |
| 余弦和角 | $ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ | 用于计算两个角的余弦值 |
| 余弦差角 | $ \cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $ | 用于计算两个角的余弦差 |
| 正切和角 | $ \tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $ | 用于计算两个角的正切值 |
| 正切差角 | $ \tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} $ | 用于计算两个角的正切差 |
五、倍角与半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 正弦倍角 | $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta $ | 计算两倍角的正弦值 |
| 余弦倍角 | $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ | 或 $ 2\cos^2\theta - 1 $ 或 $ 1 - 2\sin^2\theta $ |
| 正切倍角 | $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ | 计算两倍角的正切值 |
| 正弦半角 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ | 根据象限选择符号 |
| 余弦半角 | $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ | 根据象限选择符号 |
总结
三角函数公式是数学学习中的基础内容，掌握这些公式有助于理解三角函数的性质及其应用。无论是解题还是实际问题建模，这些公式都能起到关键作用。通过记忆和灵活运用这些公式，可以更高效地处理与角度和周期相关的数学问题。