【等和数列前n项和的公式】在数学中，数列是一种按一定顺序排列的数的集合。常见的数列有等差数列、等比数列等，而“等和数列”是一个相对较少被提及的概念。所谓“等和数列”，指的是一个数列中任意相邻两项的和都相等的数列。这种数列具有特殊的性质，其前n项和也有特定的计算方式。
一、等和数列的定义
设一个数列为 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $，若满足：
$$
a_1 + a_2 = a_2 + a_3 = a_3 + a_4 = \cdots = a_{n-1} + a_n = d
$$
其中 $ d $ 为常数，则称该数列为等和数列。
从这个定义可以看出，等和数列中的相邻两项之和恒等于一个定值 $ d $，但并不一定是等差或等比数列。
二、等和数列的通项公式
由于等和数列中相邻两项的和为常数 $ d $，我们可以推导出通项公式。
设首项为 $ a_1 $，则：
- $ a_1 + a_2 = d \Rightarrow a_2 = d - a_1 $
- $ a_2 + a_3 = d \Rightarrow a_3 = d - a_2 = d - (d - a_1) = a_1 $
- $ a_3 + a_4 = d \Rightarrow a_4 = d - a_3 = d - a_1 $
由此可得：
$$
a_1, \quad d - a_1, \quad a_1, \quad d - a_1, \quad a_1, \quad d - a_1, \ldots
$$
因此，等和数列的通项公式为：
$$
a_n =
\begin{cases}
a_1, & \text{当 } n \text{ 为奇数} \\
d - a_1, & \text{当 } n \text{ 为偶数}
\end{cases}
$$
三、等和数列前n项和的公式
根据通项公式，可以分情况讨论前n项和 $ S_n $。
情况1：n为偶数
若 $ n = 2k $，则数列中有 $ k $ 对相同的项：$ a_1, d - a_1 $，每对的和为 $ d $，共有 $ k $ 对。
所以：
$$
S_n = k \times d = \frac{n}{2} \times d
$$
情况2：n为奇数
若 $ n = 2k + 1 $，则前 $ 2k $ 项的和为 $ \frac{2k}{2} \times d = k \times d $，再加上第 $ 2k+1 $ 项 $ a_1 $。
所以：
$$
S_n = k \times d + a_1 = \frac{n - 1}{2} \times d + a_1
$$
四、总结与表格对比
| 项目 | 公式 |
| 等和数列定义 | 相邻两项之和为定值 $ d $ |
| 通项公式 | $ a_n = \begin{cases} a_1, & n \text{ 奇数} \\ d - a_1, & n \text{ 偶数} \end{cases} $ |
| 前n项和公式（n为偶数） | $ S_n = \frac{n}{2} \times d $ |
| 前n项和公式（n为奇数） | $ S_n = \frac{n - 1}{2} \times d + a_1 $ |
五、实例分析
假设等和数列为：$ 2, 5, 2, 5, 2, 5 $，则 $ d = 7 $，$ a_1 = 2 $
- 前6项和：$ S_6 = \frac{6}{2} \times 7 = 21 $
- 前5项和：$ S_5 = \frac{5 - 1}{2} \times 7 + 2 = 14 + 2 = 16 $
六、结语
等和数列虽然不常见于常规教学内容，但其结构简单且规律性强，便于理解和应用。掌握其通项与前n项和的公式，有助于提升对数列规律的敏感度，为更复杂的数列问题打下基础。