【伽马函数常用公式】伽马函数是数学中一个非常重要的特殊函数，广泛应用于概率论、统计学、物理学和工程学等领域。它是阶乘概念在实数和复数域上的推广，对于非整数的参数也能定义其值。本文将总结伽马函数的一些常用公式，并以表格形式进行展示，便于查阅和理解。
一、伽马函数的基本定义
伽马函数通常用符号 Γ(z) 表示，其定义为：
$$
\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt
$$
其中，Re(z) > 0（即 z 的实部大于 0）。
二、伽马函数的常用公式总结
| 公式编号 | 公式表达式 | 说明 |
| 1 | $\Gamma(n) = (n-1)!$ | 当 n 为正整数时，伽马函数等于 (n−1) 的阶乘 |
| 2 | $\Gamma(z+1) = z \Gamma(z)$ | 递推关系式，称为“递推公式” |
| 3 | $\Gamma(1) = 1$ | 基本值之一 |
| 4 | $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$ | 特殊值，常用于概率分布计算 |
| 5 | $\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}$ | 反演公式，适用于复数 z |
| 6 | $\Gamma(z+1) = \int_0^\infty t^z e^{-t} dt$ | 与原定义等价的另一种表示方式 |
| 7 | $\Gamma(z) = \frac{\Gamma(z+n)}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n-1)}$ | 递推展开公式，适用于任意复数 z |
| 8 | $\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \sqrt{\pi} \Gamma(2z)$ | 高斯公式，用于简化某些组合计算 |
| 9 | $\Gamma(z) = \frac{1}{z} \Gamma(z+1)$ | 递推公式的逆形式 |
| 10 | $\Gamma(n + \frac{1}{2}) = \frac{(2n)!}{4^n n!} \sqrt{\pi}$ | 当 n 为非负整数时的特殊表达式 |
三、应用举例
伽马函数在实际问题中常用于：
- 概率分布：如伽马分布、贝塔分布等；
- 数学物理：如量子力学中的波函数归一化；
- 数学分析：如积分变换、级数求和等。
四、小结
伽马函数作为阶乘的广义形式，在数学理论和应用中具有不可替代的地位。掌握其常用公式不仅有助于深入理解其性质，还能提高在相关领域中的运算效率。通过上述表格可以快速查阅和记忆主要公式，方便学习和研究使用。
如需进一步了解伽马函数的数值计算方法或与其他特殊函数的关系，可参考相关数学手册或专业文献。