【等比数列介绍】等比数列是数学中一种重要的数列形式，广泛应用于数学、物理、经济等多个领域。它是指从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等的数列。这个固定的比值称为“公比”，通常用字母 $ q $ 表示。
等比数列的基本特点是：每一项都是前一项乘以一个固定常数（即公比）。如果首项为 $ a_1 $，公比为 $ q $，那么第 $ n $ 项可以表示为：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
等比数列在实际问题中经常用来描述指数增长或衰减的情况，例如人口增长、复利计算、放射性衰变等。
等比数列基本概念总结
| 概念 | 含义 | ||
| 首项 $ a_1 $ | 数列的第一个数，记作 $ a_1 $ | ||
| 公比 $ q $ | 每一项与前一项的比值，即 $ q = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $ | ||
| 第 $ n $ 项 | 通项公式为 $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ | ||
| 前 $ n $ 项和 | 若 $ q \neq 1 $，则 $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $ | ||
| 无限等比数列 | 当 $ | q | < 1 $ 时，无穷等比数列的和为 $ S = \frac{a_1}{1 - q} $ |
示例说明
假设有一个等比数列：2, 6, 18, 54, 162...
- 首项 $ a_1 = 2 $
- 公比 $ q = 3 $
- 第5项为 $ a_5 = 2 \cdot 3^{4} = 162 $
- 前5项和为 $ S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 242 $
等比数列的应用
| 应用领域 | 举例说明 |
| 复利计算 | 年利率为5%，本金100元，10年后的本息和 |
| 人口增长 | 某地区每年人口增长率为2%，预测未来人口数 |
| 放射性衰变 | 半衰期为5年，初始质量为100克，经过10年的剩余量 |
| 经济模型 | GDP增长率、投资回报率等 |
通过了解等比数列的定义、通项公式、求和方法以及实际应用，可以帮助我们更好地理解数学中的指数变化规律，并将其灵活运用到现实问题中。