【什么是复合函数】复合函数是数学中一个重要的概念，尤其在高中和大学的数学课程中频繁出现。它指的是由两个或多个函数组合而成的新函数。理解复合函数有助于我们更深入地分析函数之间的关系，并在实际问题中灵活运用。
一、复合函数的定义
复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入所形成的函数。设函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $，若 $ f $ 的定义域包含 $ g(x) $ 的值域，则可以构成一个新的函数，记作 $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $，即 $ f $ 在 $ g $ 上的复合。
二、复合函数的基本形式
| 表达式 | 含义 | 说明 |
| $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $ | f 与 g 的复合 | 先计算 g(x)，再将结果代入 f 中 |
| $ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $ | g 与 f 的复合 | 先计算 f(x)，再将结果代入 g 中 |
> 注意：复合函数不满足交换律，即一般情况下 $ f \circ g \neq g \circ f $。
三、复合函数的性质
| 性质 | 内容 |
| 结合性 | 若有三个函数 $ f, g, h $，则 $ (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h) $ |
| 定义域 | 复合函数的定义域是使得所有内部函数都有意义的 x 值集合 |
| 值域 | 复合函数的值域取决于内部函数的值域和外部函数的定义域 |
四、举例说明
1. 例1
设 $ f(x) = x^2 $，$ g(x) = x + 1 $，
则 $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)^2 $
而 $ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 1 $
2. 例2
设 $ f(x) = \sqrt{x} $，$ g(x) = x^2 - 4 $，
则 $ (f \circ g)(x) = \sqrt{x^2 - 4} $，定义域为 $ x^2 - 4 \geq 0 $，即 $ x \leq -2 $ 或 $ x \geq 2 $
五、总结
复合函数是一种通过函数嵌套来构造新函数的方法，广泛应用于数学、物理、工程等领域。掌握复合函数的定义、性质及运算方式，有助于提高对函数结构的理解能力，并在解决复杂问题时提供有效工具。
| 关键点 | 内容 |
| 定义 | 由两个或多个函数组合而成的新函数 |
| 表示 | $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $ |
| 特点 | 不满足交换律，具有结合性 |
| 应用 | 分析函数关系、构建复杂模型等 |
如需进一步了解复合函数的求导、反函数或图像变换等内容，可继续深入学习相关章节。