【sin75度的三角函数值】在三角函数的学习中，常见的角度如30°、45°、60°等都有明确的三角函数值，但像75°这样的角度却需要通过公式推导来计算。sin75°是一个常见的角度，其值可以通过和角公式或差角公式进行求解。本文将总结sin75°的三角函数值，并以表格形式展示相关数据。
一、sin75°的求解方法
75°可以表示为45° + 30°，因此我们可以使用正弦的和角公式：
$$
\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
$$
代入 $a = 45^\circ$，$b = 30^\circ$，得到：
$$
\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ
$$
已知：
- $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
代入计算：
$$
\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
因此，$\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
二、其他三角函数值（cos75°, tan75°）
除了正弦值外，我们也可以求出cos75°和tan75°的值，方便后续应用。
1. cos75°
同样使用和角公式：
$$
\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ
$$
$$
= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
$$
2. tan75°
利用正切的和角公式：
$$
\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}
$$
$$
\tan 75^\circ = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ}
$$
已知：
- $\tan 45^\circ = 1$
- $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$
代入计算：
$$
\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}
$$
有理化分母后得：
$$
\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}
$$
三、总结表格
| 角度 | sinθ | cosθ | tanθ |
| 75° | $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ | $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ | $2 + \sqrt{3}$ |
四、结语
sin75°的三角函数值虽然不常见，但在实际问题中具有一定的应用价值。通过和角公式，我们可以准确地计算出其数值，同时也能够进一步求出cos75°和tan75°的值。掌握这些知识有助于提升对三角函数的理解与运用能力。