问哪个函数的导数是arctanx

【哪个函数的导数是arctanx】在微积分中，求一个函数的导数是一个常见问题，但反过来，寻找一个导数为给定函数的原函数，则需要通过积分来实现。今天我们将探讨这样一个问题：哪个函数的导数是 arctanx？

要找到这个原函数，我们需要对 arctanx 进行不定积分，即计算 ∫ arctanx dx。这个问题可以通过分部积分法来解决。

一、求解过程简述

我们使用分部积分公式：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

令：

- $ u = \arctan x $

- $ dv = dx $

则：

- $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $

- $ v = x $

代入公式得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

接下来，计算第二个积分：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

令 $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x dx $，所以：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{2} \ln t + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

因此，最终结果为：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

二、总结与表格展示

三、结论

答案是：

函数 $ x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ 的导数是 $ \arctan x $。

这个结果不仅帮助我们理解了反三角函数的积分形式，也展示了分部积分法在处理复杂函数时的强大作用。在实际应用中，这类积分常用于物理、工程和数学建模等领域，具有重要的理论和实践意义。