【概率论与数理统计公式总结】在学习概率论与数理统计的过程中，掌握各类公式是理解理论、解决实际问题的关键。本文对常见的概率论与数理统计中的重要公式进行系统性总结，便于复习和查阅。
一、概率论基本公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | |||
| 概率的定义 | $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $ | A 是事件，S 是样本空间，n 表示元素个数 | |||
| 加法公式 | $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ | 用于计算两个事件并的概率 | |||
| 乘法公式 | $ P(A \cap B) = P(A)P(B | A) $ | 用于计算两个事件同时发生的概率 | ||
| 条件概率 | $ P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $ | 在 A 发生的前提下 B 发生的概率 | ||
| 全概率公式 | $ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B | A_i) $ | 当事件 B 可以被多个互斥事件 A_i 分解时使用 | ||
| 贝叶斯公式 | $ P(A_i | B) = \frac{P(A_i)P(B | A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A_j)P(B | A_j)} $ | 用于由结果反推原因的概率 |
二、随机变量及其分布
| 类型 | 公式表达式 | 说明 |
| 离散型随机变量期望 | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i) $ | X 的数学期望 |
| 连续型随机变量期望 | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $ | f(x) 为概率密度函数 |
| 方差公式 | $ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 随机变量的方差 |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | n 次独立试验中成功 k 次的概率 |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | 适用于稀有事件的计数模型 |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | 常见的连续分布，具有对称性 |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b $ | 在区间 [a, b] 上等概率分布 |
三、数理统计基础公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 样本均值 | $ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $ | 数据集的平均值 |
| 样本方差 | $ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $ | 无偏估计的方差 |
| 总体方差 | $ \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 $ | 总体数据的方差 |
| 标准差 | $ \sigma = \sqrt{\sigma^2} $ | 方差的平方根 |
| 协方差 | $ \text{Cov}(X,Y) = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)] $ | 衡量两个变量之间的线性关系 |
| 相关系数 | $ \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} $ | 取值范围 [-1, 1]，表示相关性强弱 |
四、常用统计推断公式
| 类型 | 公式表达式 | 说明 |
| 置信区间（正态总体） | $ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $ | 用于估计总体均值 |
| t 检验统计量 | $ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} $ | 用于小样本下均值检验 |
| 卡方检验统计量 | $ \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} $ | 用于检验分类变量的独立性 |
| F 检验统计量 | $ F = \frac{S_1^2}{S_2^2} $ | 用于比较两个总体方差 |
五、总结
概率论与数理统计是一门应用广泛的基础学科，其核心在于通过数学工具描述不确定性，并基于数据做出合理的推断与决策。掌握上述公式有助于深入理解理论内容，并在实际问题中灵活运用。建议在学习过程中结合实例进行练习，以加深对公式的理解和记忆。
如需进一步了解某个公式的应用场景或具体例题，可继续阅读相关教材或参考资料。