【等比数列前n项求和公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。等比数列前n项的和是数学学习中的一个基础内容，广泛应用于数学、物理、经济等多个领域。
一、等比数列的基本概念
- 首项（a）：数列的第一个数。
- 公比（r）：后一项与前一项的比值，即 $ r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $。
- 项数（n）：数列中包含的项的数量。
二、等比数列前n项和的公式
当公比 $ r \neq 1 $ 时，等比数列前n项和的公式为：
$$
S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
$$
当公比 $ r = 1 $ 时，所有项都相等，因此前n项和为：
$$
S_n = a \cdot n
$$
三、公式应用举例
| 项数(n) | 首项(a) | 公比(r) | 前n项和(Sₙ) | 计算过程 |
| 5 | 2 | 3 | 242 | $ 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 242 $ |
| 4 | 3 | 2 | 45 | $ 3 \cdot \frac{1 - 2^4}{1 - 2} = 3 \cdot \frac{-15}{-1} = 45 $ |
| 6 | 1 | 1 | 6 | $ 1 \cdot 6 = 6 $ |
| 3 | 5 | 0.5 | 8.75 | $ 5 \cdot \frac{1 - 0.5^3}{1 - 0.5} = 5 \cdot \frac{0.875}{0.5} = 8.75 $ |
四、总结
等比数列前n项和的计算依赖于首项、公比以及项数。通过掌握基本公式并结合具体数值进行计算，可以快速得出结果。在实际应用中，需要注意公比是否为1的情况，因为此时公式需要单独处理。理解这一公式的推导过程有助于更深入地掌握等比数列的性质及其应用价值。