【余子式的计算例题】在行列式计算中，余子式是一个重要的概念，尤其在展开行列式时经常用到。余子式是指去掉某一行和某一列后所剩下的子矩阵的行列式，符号由该元素的位置决定。本文通过几个典型例题，详细讲解余子式的计算方法，并以表格形式总结关键信息。
一、余子式的定义
对于一个 $ n \times n $ 的矩阵 $ A = (a_{ij}) $，其第 $ i $ 行第 $ j $ 列的余子式 $ M_{ij} $ 是去掉第 $ i $ 行和第 $ j $ 列后的 $ (n-1) \times (n-1) $ 矩阵的行列式。
符号为：
$$
C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}
$$
二、例题解析
例题1：3×3矩阵
设矩阵：
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{bmatrix}
$$
求 $ M_{11} $ 和 $ C_{11} $
步骤：
1. 去掉第一行第一列，得到子矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
5 & 6 \\
8 & 9 \\
\end{bmatrix}
$$
2. 计算行列式：
$$
M_{11} = \begin{vmatrix}
5 & 6 \\
8 & 9 \\
\end{vmatrix}
= 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = 45 - 48 = -3
$$
3. 符号为 $ (-1)^{1+1} = 1 $，因此：
$$
C_{11} = 1 \cdot (-3) = -3
$$
例题2：3×3矩阵
设矩阵：
$$
B =
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 1 \\
-1 & 3 & 4 \\
5 & -2 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
求 $ M_{23} $ 和 $ C_{23} $
步骤：
1. 去掉第二行第三列，得到子矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
5 & -2 \\
\end{bmatrix}
$$
2. 计算行列式：
$$
M_{23} = \begin{vmatrix}
2 & 0 \\
5 & -2 \\
\end{vmatrix}
= 2 \cdot (-2) - 0 \cdot 5 = -4
$$
3. 符号为 $ (-1)^{2+3} = -1 $，因此：
$$
C_{23} = -1 \cdot (-4) = 4
$$
例题3：4×4矩阵
设矩阵：
$$
C =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & 3 \\
-1 & 4 & 5 & 6 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
2 & 3 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
求 $ M_{32} $ 和 $ C_{32} $
步骤：
1. 去掉第三行第二列，得到子矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
-1 & 5 & 6 \\
2 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
2. 计算行列式（使用展开法）：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
-1 & 5 & 6 \\
2 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}
= 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 6 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 5 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}
$$
计算各部分：
- 第一项：$ 1 \cdot (5 \cdot 1 - 6 \cdot 0) = 5 $
- 第二项：$ -2 \cdot (-1 \cdot 1 - 6 \cdot 2) = -2 \cdot (-13) = 26 $
- 第三项：$ 3 \cdot (-1 \cdot 0 - 5 \cdot 2) = 3 \cdot (-10) = -30 $
总和：$ 5 + 26 - 30 = 1 $
所以 $ M_{32} = 1 $
符号为 $ (-1)^{3+2} = -1 $，因此：
$$
C_{32} = -1 \cdot 1 = -1
$$
三、总结表格
| 元素位置 | 余子式 $ M_{ij} $ | 代数余子式 $ C_{ij} $ |
| $ (1,1) $ | -3 | -3 |
| $ (2,3) $ | -4 | 4 |
| $ (3,2) $ | 1 | -1 |
四、结语
余子式的计算是行列式展开的基础，掌握这一技巧有助于更深入理解线性代数中的矩阵运算。通过上述例题可以看出，计算余子式的关键在于正确识别子矩阵并准确计算其行列式，同时注意符号的变化。希望本文能帮助读者更好地理解和应用余子式的相关知识。