【高中三角函数公式】在高中数学中，三角函数是一个重要的知识点，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数公式对于解题和理解相关概念具有重要意义。以下是对高中阶段常见三角函数公式的总结，便于学生复习和记忆。
一、基本定义
设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
| 函数名称 | 定义式 | 常见值（0°, 30°, 45°, 60°, 90°） |
| 正弦 | sinα = y | 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 |
| 余弦 | cosα = x | 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0 |
| 正切 | tanα = y/x | 0, 1/√3, 1, √3, 无定义 |
二、同角三角函数关系
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 平方关系 | sin²α + cos²α = 1 |
| 商数关系 | tanα = sinα / cosα |
| 倒数关系 | cotα = 1/tanα, secα = 1/cosα, cscα = 1/sinα |
三、诱导公式（用于求任意角的三角函数值）
| 角度变化 | 三角函数值变化规律 |
| α + 2π | sin(α + 2π) = sinα, cos(α + 2π) = cosα |
| -α | sin(-α) = -sinα, cos(-α) = cosα |
| π - α | sin(π - α) = sinα, cos(π - α) = -cosα |
| π + α | sin(π + α) = -sinα, cos(π + α) = -cosα |
| 2π - α | sin(2π - α) = -sinα, cos(2π - α) = cosα |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差角公式 | sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ |
| 余弦和差角公式 | cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ |
| 正切和差角公式 | tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ) |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | sin2α = 2sinα cosα |
| 余弦倍角公式 | cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α |
| 正切倍角公式 | tan2α = 2tanα / (1 - tan²α) |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2] |
| 正切半角公式 | tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)] = (sinα)/(1 + cosα) |
七、积化和差与和差化积公式
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 积化和差 | sinα cosβ = [sin(α + β) + sin(α - β)] / 2 cosα cosβ = [cos(α + β) + cos(α - β)] / 2 sinα sinβ = [cos(α - β) - cos(α + β)] / 2 |
| 和差化积 | sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
八、正弦定理与余弦定理（适用于三角形）
| 定理名称 | 公式表达式 |
| 正弦定理 | a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R为外接圆半径） |
| 余弦定理 | a² = b² + c² - 2bc cosA b² = a² + c² - 2ac cosB c² = a² + b² - 2ab cosC |
通过以上内容的整理，可以系统地掌握高中阶段常用的三角函数公式。这些公式不仅有助于解题，也能帮助理解三角函数在实际问题中的应用。建议在学习过程中结合图形和实例进行理解和记忆，提高解题效率和准确性。