【报童模型的推导过程】报童模型是运筹学和管理科学中一个经典的库存管理模型，主要用于解决在需求不确定的情况下，如何确定最优订购量的问题。该模型最早由E. J. Capen提出，常用于描述报纸销售者在每天早上决定购买多少份报纸以应对当天的不确定需求。
一、问题概述
报童模型的核心问题是：在已知需求的概率分布下，如何确定最佳订购量，使得期望利润最大或期望损失最小。模型假设：
- 报童每天早上以固定成本 $ c $ 购买报纸；
- 每份报纸以售价 $ p $ 卖出；
- 如果报纸卖不完，剩余部分只能以残值 $ v $ 售出（通常为0）；
- 需求是一个随机变量，服从某种概率分布。
二、关键变量定义
| 变量 | 含义 |
| $ q $ | 订购量（决策变量） |
| $ D $ | 需求量（随机变量） |
| $ c $ | 单位采购成本 |
| $ p $ | 单位售价 |
| $ v $ | 单位残值 |
| $ \pi(q) $ | 当订购量为 $ q $ 时的期望利润 |
| $ F(D) $ | 需求的累积分布函数 |
三、利润函数构建
当订购量为 $ q $，实际需求为 $ D $ 时，利润为：
$$
\pi(q, D) =
\begin{cases}
pD - c q + v (q - D), & D \leq q \\
p q - c q, & D > q
\end{cases}
$$
即：
- 若需求小于等于订购量，则卖出 $ D $ 份，剩余 $ q-D $ 份按残值卖出；
- 若需求大于订购量，则全部卖出 $ q $ 份，无剩余。
因此，期望利润为：
$$
E[\pi(q)] = \int_{0}^{q} [pD - c q + v (q - D)] f(D) dD + \int_{q}^{\infty} [p q - c q] f(D) dD
$$
其中 $ f(D) $ 是需求的概率密度函数。
四、优化目标
我们的目标是最大化期望利润：
$$
\max_q E[\pi(q)
$$
对 $ q $ 求导并令其为零，得到最优订购量的条件：
$$
F(q^) = \frac{p - c}{p - v}
$$
其中 $ F(q^) $ 是需求的累积分布函数在 $ q^ $ 处的值。
这个式子表明：最优订购量 $ q^ $ 是满足 $ F(q^) = \frac{p - c}{p - v} $ 的那个点。
五、关键结论总结
| 内容 | 说明 |
| 最优订购量 | $ q^ $ 满足 $ F(q^) = \frac{p - c}{p - v} $ |
| 盈亏平衡点 | 当 $ p - c = p - v $ 时，$ q^ $ 为期望需求；否则，根据边际收益与损失调整 |
| 应用场景 | 适用于一次性订购、需求不确定的库存决策问题 |
| 模型特点 | 简单易用，适合短期决策，不考虑库存再补货 |
六、示例说明
假设：
- 售价 $ p = 5 $ 元，
- 成本 $ c = 3 $ 元，
- 残值 $ v = 1 $ 元，
- 需求服从均匀分布 $ D \sim U(0, 100) $。
则：
$$
\frac{p - c}{p - v} = \frac{5 - 3}{5 - 1} = \frac{2}{4} = 0.5
$$
因此，最优订购量 $ q^ $ 是使 $ F(q^) = 0.5 $ 的值，即 $ q^ = 50 $。
七、总结
报童模型通过分析边际收益与边际损失，提供了一个在不确定性环境下进行库存决策的有效方法。它不仅适用于报纸销售，还可推广至服装、鲜花、医药等类似场景。掌握其推导过程有助于理解如何在现实世界中做出理性决策。