【正弦余弦正切的定理及公式是什么】在三角学中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）是最基本的三个三角函数。它们在解决与直角三角形、单位圆以及各种几何和物理问题相关的问题时起着至关重要的作用。下面将对这三个函数的定义、常见定理及其公式进行总结。
一、基本定义
在直角三角形中，对于一个锐角θ：
- 正弦（sin）：对边与斜边的比值
$$
\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}
$$
- 余弦（cos）：邻边与斜边的比值
$$
\cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}
$$
- 正切（tan）：对边与邻边的比值
$$
\tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
$$
二、常用定理
1. 勾股定理：
在直角三角形中，满足：
$$
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
$$
2. 正弦定理（适用于任意三角形）：
对于任意三角形ABC，有：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
$$
其中，a、b、c是三角形的三边，A、B、C是对应的角，R是外接圆半径。
3. 余弦定理（适用于任意三角形）：
对于任意三角形ABC，有：
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C
$$
同理可得其他两边的表达式。
4. 正切定理（用于解三角形）：
$$
\frac{a - b}{a + b} = \frac{\tan\left(\frac{A - B}{2}\right)}{\tan\left(\frac{A + B}{2}\right)}
$$
三、常用角度的三角函数值
| 角度（°） | 弧度（rad） | sinθ | cosθ | tanθ |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90 | π/2 | 1 | 0 | 无定义 |
四、三角函数的周期性与奇偶性
- 周期性：
- 正弦和余弦函数的周期为 $2\pi$。
- 正切函数的周期为 $\pi$。
- 奇偶性：
- 正弦函数是奇函数：$\sin(-\theta) = -\sin\theta$
- 余弦函数是偶函数：$\cos(-\theta) = \cos\theta$
- 正切函数是奇函数：$\tan(-\theta) = -\tan\theta$
五、应用举例
- 在工程、物理、建筑等领域中，三角函数常用于计算高度、距离、角度等。
- 在信号处理中，正弦和余弦函数是傅里叶变换的基础。
- 在导航和地理信息系统（GIS）中，三角函数用于计算方位角和距离。
总结
正弦、余弦和正切是三角学中的核心函数，广泛应用于数学、物理、工程等多个领域。掌握它们的定义、定理及常用公式，有助于解决各种实际问题。通过表格可以快速查阅不同角度下的函数值，便于记忆和应用。