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三阶行列式公式

2025-09-20 08:24:14

问题描述：

三阶行列式公式，真的急死了，求好心人回复！

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2025-09-20 08:24:14

李蒽熙Girl

问答领域知识达人

2025-09-20 08:24:14

【三阶行列式公式】在数学中，行列式是一个用于描述矩阵性质的重要概念，尤其在解线性方程组、计算向量的叉积以及判断矩阵是否可逆等方面具有广泛应用。三阶行列式是行列式的最基本形式之一，适用于3×3矩阵。本文将对三阶行列式的定义、计算方法进行总结，并以表格形式清晰展示其公式与计算步骤。

一、三阶行列式的定义

对于一个3×3的矩阵：

A = \begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33}

\end{bmatrix}

其对应的三阶行列式记作 $ A $ 或 $ \det(A) $，表示为：

A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})

这个公式可以通过展开第一行来计算，也称为“按行展开法”。

二、三阶行列式的计算方法

三阶行列式的计算通常有以下几种方式：

1. 直接展开法（按行或列展开）

2. Sarrus法则（仅适用于三阶行列式）

3. 利用余子式和代数余子式

其中，Sarrus法则是一种快速计算三阶行列式的技巧，适用于初学者掌握。

三、三阶行列式公式总结

以下是三阶行列式的标准公式及计算步骤的总结：

公式名称	公式表达式	计算步骤说明
直接展开法	$	A	= a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) $	按第一行展开，依次计算每个元素的余子式并乘以相应的符号。
Sarrus法则	$	A	= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} $	将前两列复制到右侧，然后计算主对角线和副对角线的乘积之差。

四、示例计算

假设矩阵为：

A = \begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9

\end{bmatrix}

使用Sarrus法则计算：

A = (1×5×9) + (2×6×7) + (3×4×8) - (3×5×7) - (1×6×8) - (2×4×9)

= 45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 225 - 225 = 0

该行列式的值为0，说明该矩阵不可逆。

五、总结

三阶行列式是线性代数中的基础内容，掌握其计算方法有助于理解更复杂的矩阵运算。通过直接展开法和Sarrus法则，可以快速准确地求出三阶行列式的值。实际应用中，根据具体情况选择合适的计算方法更为高效。

附：三阶行列式公式对比表

方法	优点	缺点	适用场景
直接展开法	灵活，适用于任意行/列	计算步骤较多	通用性强，适合教学
Sarrus法则	快速简便，适合三阶矩阵	仅适用于三阶矩阵	初学者快速计算

通过以上内容，希望读者能够更好地理解和应用三阶行列式的相关知识。

标签：三阶行列式公式

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