【微分计算公式】在数学中，微分是研究函数变化率的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。微分计算公式是进行微分运算的基础，掌握这些公式有助于更深入地理解函数的变化趋势和局部性质。
以下是对常见微分计算公式的总结，以文字说明结合表格形式呈现，便于查阅与学习。
一、基本微分公式
1. 常数函数的导数
若 $ f(x) = C $（C为常数），则 $ f'(x) = 0 $
2. 幂函数的导数
若 $ f(x) = x^n $，则 $ f'(x) = n \cdot x^{n-1} $，其中 $ n $ 为任意实数
3. 指数函数的导数
若 $ f(x) = a^x $，则 $ f'(x) = a^x \ln a $
特别地，若 $ f(x) = e^x $，则 $ f'(x) = e^x $
4. 对数函数的导数
若 $ f(x) = \log_a x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $
若 $ f(x) = \ln x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{x} $
5. 三角函数的导数
- $ \frac{d}{dx} \sin x = \cos x $
- $ \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x $
- $ \frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x $
- $ \frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x $
- $ \frac{d}{dx} \sec x = \sec x \tan x $
- $ \frac{d}{dx} \csc x = -\csc x \cot x $
6. 反三角函数的导数
- $ \frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2} $
二、微分法则
| 法则名称 | 公式 | 说明 |
| 常数倍法则 | $ (Cf(x))' = C f'(x) $ | 常数乘以函数的导数等于常数乘以函数的导数 |
| 和差法则 | $ (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) $ | 函数和或差的导数等于各自导数的和或差 |
| 积法则 | $ (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ | 两个函数乘积的导数 |
| 商法则 | $ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ | 两个函数商的导数 |
| 链式法则 | $ \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数的导数 |
三、常见函数微分表
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = C $ | $ 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ n x^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ e^x $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
通过掌握这些微分计算公式，可以快速求解各类函数的导数，为后续的积分、极值分析、曲线绘制等提供基础支持。建议在实际应用中多加练习，加深对公式的理解和运用能力。