【等比数列的性质】等比数列是数学中一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。在学习和应用等比数列时，掌握其基本性质对于解题和理解数列规律具有重要意义。以下是对等比数列主要性质的总结。
一、等比数列的基本定义
设一个数列为 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $，若满足：
$$
\frac{a_{n}}{a_{n-1}} = r \quad (n \geq 2)
$$
其中 $ r $ 为常数，则称该数列为等比数列，$ r $ 称为公比。
二、等比数列的主要性质
| 序号 | 性质描述 | 公式表示 |
| 1 | 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 2 | 等比中项 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = ac $ |
| 3 | 任意两项之比 | $ \frac{a_m}{a_n} = r^{m-n} $ |
| 4 | 前 n 项和公式 | 当 $ r \neq 1 $ 时，$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ 当 $ r = 1 $ 时，$ S_n = a_1 \cdot n $ |
| 5 | 连续三项关系 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = ac $ |
| 6 | 乘以常数后仍为等比数列 | 若 $ a_n $ 是等比数列，$ k $ 为常数，则 $ k \cdot a_n $ 也是等比数列 |
| 7 | 同项相加不一定为等比数列 | 若 $ a_n $ 和 $ b_n $ 都是等比数列，它们的和不一定构成等比数列 |
| 8 | 指数变换后仍为等比数列 | 若 $ a_n $ 是等比数列，$ a_n^k $（$ k $ 为常数）仍是等比数列 |
三、典型例题解析
例1： 已知等比数列的首项为 2，公比为 3，求第 5 项。
解：
根据通项公式 $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $，代入得：
$$
a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162
$$
例2： 在等比数列中，已知 $ a_3 = 4 $，$ a_5 = 16 $，求公比 $ r $。
解：
由 $ a_5 = a_3 \cdot r^{2} $，得：
$$
16 = 4 \cdot r^2 \Rightarrow r^2 = 4 \Rightarrow r = \pm 2
$$
四、总结
等比数列作为一种常见的数列类型，在数学、物理、经济等领域有广泛应用。掌握其性质有助于快速解题，并加深对数列结构的理解。通过表格形式可以清晰地看到各项性质及其对应的公式表达，便于记忆和应用。
在实际学习中，建议多结合具体例子进行练习，从而更好地理解和运用这些性质。