【arcsin的原函数是什么】在微积分中，求一个函数的原函数（即不定积分）是一个基本而重要的问题。对于反三角函数如 $ \arcsin x $，其原函数可以通过积分法进行推导。本文将总结 $ \arcsin x $ 的原函数，并以表格形式展示相关公式与结果。
一、
$ \arcsin x $ 是正弦函数 $ \sin x $ 在区间 $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ 上的反函数。它的定义域是 $ [-1, 1] $，值域是 $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $。
当我们要求 $ \arcsin x $ 的原函数时，实际上是在计算：
$$
\int \arcsin x \, dx
$$
这个积分可以通过分部积分法来解决。设 $ u = \arcsin x $，$ dv = dx $，则 $ du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx $，$ v = x $。根据分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
代入得：
$$
\int \arcsin x \, dx = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx
$$
接下来对第二项进行积分，令 $ w = 1 - x^2 $，则 $ dw = -2x dx $，所以：
$$
\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{w}} dw = -\sqrt{w} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C
$$
因此，最终结果为：
$$
\int \arcsin x \, dx = x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C
$$
二、表格展示
| 函数 | 原函数（不定积分） | 积分常数 |
| $ \arcsin x $ | $ x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C $ | $ C $ |
三、注意事项
- 该积分结果适用于定义域 $ x \in [-1, 1] $。
- 若需要定积分，可将上下限代入上述表达式进行计算。
- 实际应用中，可以使用数学软件（如 Wolfram Alpha、Mathematica）验证积分结果。
通过以上分析可以看出，虽然 $ \arcsin x $ 看似简单，但其原函数的推导需要一定的技巧和方法。掌握这类积分方法，有助于进一步理解反三角函数的性质及其在实际问题中的应用。