【代数余子式怎么算】代数余子式是线性代数中的一个重要概念，常用于计算行列式以及求矩阵的逆。理解代数余子式的计算方法对于掌握矩阵运算和行列式性质具有重要意义。
一、什么是代数余子式？
在n阶行列式中，某个元素 $ a_{ij} $ 的代数余子式 $ A_{ij} $ 是指去掉该元素所在的第i行和第j列后所形成的(n-1)阶行列式，再乘以符号因子 $ (-1)^{i+j} $。
即：
$$
A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
$$
其中，$ M_{ij} $ 是元素 $ a_{ij} $ 的余子式（即去掉该元素后的行列式）。
二、代数余子式的计算步骤
1. 确定元素位置：找到要计算的元素 $ a_{ij} $ 所在的行i和列j。
2. 构造余子式：去掉第i行和第j列，得到一个(n-1)阶的子矩阵。
3. 计算余子式：对这个子矩阵计算其行列式，记为 $ M_{ij} $。
4. 乘以符号因子：根据 $ i + j $ 的奇偶性，决定符号因子 $ (-1)^{i+j} $，最终得到代数余子式 $ A_{ij} $。
三、代数余子式的计算示例
假设我们有一个3×3矩阵：
$$
A =
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{bmatrix}
$$
我们要计算元素 $ e $ 的代数余子式 $ A_{22} $：
1. 元素 $ e $ 在第2行第2列，即 $ i=2, j=2 $。
2. 去掉第2行和第2列，得到子矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
a & c \\
g & i \\
\end{bmatrix}
$$
3. 计算余子式 $ M_{22} = ai - cg $。
4. 符号因子 $ (-1)^{2+2} = 1 $，因此 $ A_{22} = ai - cg $。
四、总结表格
| 步骤 | 内容 |
| 1. 确定元素位置 | 找到 $ a_{ij} $ 的行i和列j |
| 2. 构造余子式 | 去掉第i行和第j列，得到子矩阵 |
| 3. 计算余子式 | 对子矩阵求行列式，记为 $ M_{ij} $ |
| 4. 乘以符号因子 | $ A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} $ |
五、注意事项
- 代数余子式仅适用于方阵。
- 余子式本身不带符号，而代数余子式带有符号。
- 在计算高阶行列式时，常用展开法（按行或按列展开），利用代数余子式简化计算。
通过以上步骤和示例，可以清晰地理解代数余子式的计算方法。掌握这一概念不仅有助于行列式的计算，也为后续学习矩阵的逆、特征值等打下基础。