【无穷级数莱布尼兹判别法】在数学分析中，无穷级数的收敛性是一个重要的研究课题。其中，莱布尼兹判别法（Leibniz's Test）是判断交错级数是否收敛的一种常用方法。该判别法由德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨提出，适用于形式为 $\sum (-1)^{n} a_n$ 的交错级数。
一、莱布尼兹判别法的核心内容
莱布尼兹判别法用于判断如下形式的交错级数：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_n
$$
其中 $a_n > 0$，且满足以下两个条件：
1. 单调递减：即 $a_{n+1} \leq a_n$ 对所有 $n$ 成立；
2. 极限为零：即 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。
若上述两个条件同时满足，则该级数收敛。
二、适用范围与注意事项
| 条件 | 是否满足 | 说明 |
| 项为正 | 是 | $a_n > 0$ 是基本要求 |
| 单调递减 | 是 | 必须严格或非严格递减 |
| 极限为零 | 是 | 若不满足，级数发散 |
| 交错性 | 是 | 必须为 $(-1)^n a_n$ 形式 |
> 注意：该判别法仅适用于交错级数，对其他类型的级数（如正项级数）不适用。
三、例子分析
| 级数 | 判别法应用 | 结论 |
| $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{1}{n}$ | $a_n = \frac{1}{n}$，单调递减，$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ | 收敛（交错调和级数） |
| $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{n}{n+1}$ | $a_n = \frac{n}{n+1}$，不趋近于零 | 发散 |
| $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{1}{n^2}$ | $a_n = \frac{1}{n^2}$，单调递减，极限为零 | 收敛 |
四、总结
莱布尼兹判别法是判断交错级数收敛性的有效工具，尤其适用于形式简单的交错级数。其核心在于验证两项基本条件：单调递减与极限为零。虽然该方法简单易用，但使用时需注意其适用范围，避免误用于非交错级数。
通过合理运用该判别法，可以快速判断一些经典级数的收敛性，为进一步分析提供基础支持。