问数列求和公式

【数列求和公式】在数学中，数列是按照一定顺序排列的一组数，而数列的求和则是将这些数依次相加的结果。根据数列的不同类型，求和公式也各不相同。掌握常见的数列求和公式对于解决实际问题、提高计算效率具有重要意义。

以下是对常见数列及其求和公式的总结，以文字说明与表格形式呈现，便于查阅和理解。

一、等差数列

等差数列是指每一项与前一项的差为常数的数列。设首项为 $ a $，公差为 $ d $，项数为 $ n $，则第 $ n $ 项为 $ a_n = a + (n-1)d $。

求和公式：

$$

S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d

$$

或

$$

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

$$

二、等比数列

等比数列是指每一项与前一项的比为常数的数列。设首项为 $ a $，公比为 $ r $，项数为 $ n $，则第 $ n $ 项为 $ a_n = ar^{n-1} $。

求和公式：

当 $ r \neq 1 $ 时，

$$

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

$$

当 $ r < 1 $ 且 $ n \to \infty $ 时，无穷等比数列的和为：

$$

S = \frac{a}{1 - r}

$$

三、自然数列

自然数列是首项为 1，公差为 1 的等差数列，即 $ 1, 2, 3, \dots, n $。

求和公式：

$$

S_n = \frac{n(n + 1)}{2}

$$

四、平方数列

平方数列是各项为自然数平方的数列，即 $ 1^2, 2^2, 3^2, \dots, n^2 $。

求和公式：

$$

S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

$$

五、立方数列

立方数列是各项为自然数立方的数列，即 $ 1^3, 2^3, 3^3, \dots, n^3 $。

求和公式：

$$

S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2

$$

六、其他常见数列

通过以上总结可以看出，不同类型的数列有不同的求和方法。在实际应用中，应根据数列的特性选择合适的公式进行计算。掌握这些公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对数列结构的理解。