【向量积计算公式】在三维几何与向量代数中，向量积（也称为叉积）是一个重要的运算，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。向量积的结果是一个向量，其方向垂直于原两个向量所构成的平面，大小则等于这两个向量所形成的平行四边形的面积。
一、向量积的基本定义
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和向量 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积记作 a × b，其结果为一个向量，表示为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
其中，i、j、k 分别是 x、y、z 轴方向的单位向量。
展开后可得：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
二、向量积的性质总结
| 性质 | 描述 | ||||||
| 1. 反交换律 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ | ||||||
| 2. 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ | ||||||
| 3. 数乘结合律 | $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b})$ | ||||||
| 4. 零向量 | 若 $\mathbf{a} = \mathbf{0}$ 或 $\mathbf{b} = \mathbf{0}$，则 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ | ||||||
| 5. 垂直性 | 向量积 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 都垂直 | ||||||
| 6. 模长 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$，其中 $\theta$ 是两向量之间的夹角 |
三、向量积的计算步骤
1. 确定两个向量的坐标：例如 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$。
2. 构造行列式：按照标准的三阶行列式形式排列。
3. 计算行列式：按照行列式的展开规则进行计算。
4. 得出结果向量：将计算结果整理为三个分量的形式。
四、示例计算
设 $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$，$\mathbf{b} = (4, 5, 6)$，求 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$。
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{vmatrix}
= (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5)\mathbf{i} - (1 \cdot 6 - 3 \cdot 4)\mathbf{j} + (1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)\mathbf{k}
$$
$$
= (12 - 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (5 - 8)\mathbf{k}
= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}
$$
所以，$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)$。
五、应用领域
- 物理学：如力矩、磁场中的洛伦兹力等；
- 工程学：结构分析、力学计算；
- 计算机图形学：法线计算、光照模型；
- 数学：用于判断向量是否共面或垂直。
通过掌握向量积的计算方法与性质，可以更有效地处理涉及空间方向与旋转的问题。理解其背后的几何意义也有助于提升对三维空间中向量关系的整体认知。