【8个常用泰勒公式有哪些】在数学中，泰勒公式是一种用多项式近似表示函数的方法，广泛应用于微积分、数值分析和物理等领域。掌握一些常用的泰勒展开公式，可以大大提升解题效率和理解能力。以下是8个常见的泰勒公式及其展开形式，适合用于考试复习或日常学习。
一、
泰勒公式的核心思想是将一个光滑函数在某一点附近用无限次可导的多项式来逼近。当展开点为0时，也称为麦克劳林公式。以下列出的8个泰勒公式是数学中最常遇到的，适用于各种计算与推导。
这些公式通常以幂级数的形式出现，每一项都对应于函数在该点的导数信息。通过掌握这些公式，可以快速进行函数的近似计算、极限求解以及级数展开等操作。
二、8个常用泰勒公式表格
| 函数 | 泰勒展开（在x=0处） | 收敛区间 | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} $ | $ (-1, 1] $ | ||
| $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} $ | $ [-1, 1] $ | ||
| $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $（当k为任意实数时） |
| $ \sinh x $ | $ x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cosh x $ | $ 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ |
三、结语
以上8个泰勒公式是数学学习中的基础内容，建议在学习过程中多加练习和记忆。对于不同的函数，其泰勒展开形式各有特点，合理运用这些公式可以帮助我们更高效地解决各类数学问题。希望本文能帮助你更好地理解和掌握这些重要的数学工具。