【连续函数的概念与性质】在数学分析中，连续函数是一个非常基础且重要的概念。它描述了函数在其定义域内“没有跳跃”或“突然变化”的特性。理解连续函数的定义和性质，有助于进一步研究极限、导数、积分等更复杂的数学内容。
一、连续函数的基本概念
1. 连续的定义（直观）：
如果一个函数在某一点处的图像可以一笔画出而不需抬起笔，则称该函数在这一点是连续的。
2. 数学定义（严格）：
设函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处有定义，若对任意给定的正数 $ \varepsilon > 0 $，总存在一个正数 $ \delta > 0 $，使得当 $
$$
$$
则称函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处连续。
3. 连续函数的定义域：
函数在某个区间上连续，是指该区间内的每一点都连续。
二、连续函数的性质
连续函数具有许多良好的性质，这些性质在实际应用中非常重要。以下是常见的几条：
| 性质名称 | 内容说明 |
| 1. 连续性在四则运算下的保持性 | 若 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在某点连续，则它们的和、差、积、商（分母不为零）也在此点连续。 |
| 2. 连续函数的复合函数仍连续 | 若 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处连续，$ g(x) $ 在 $ f(x_0) $ 处连续，则复合函数 $ g(f(x)) $ 在 $ x_0 $ 处连续。 |
| 3. 闭区间上的连续函数必有界 | 若函数 $ f(x) $ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $ f(x) $ 在该区间上有最大值和最小值。 |
| 4. 零点定理（中间值定理） | 若 $ f(x) $ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $ f(a) $ 与 $ f(b) $ 异号，则至少存在一点 $ c \in (a, b) $，使得 $ f(c) = 0 $。 |
| 5. 一致连续性（在闭区间上） | 若 $ f(x) $ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $ f(x) $ 在该区间上是一致连续的。 |
三、常见不连续函数举例
| 函数 | 不连续点 | 原因 |
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ x = 0 $ | 函数在该点无定义 |
| $ f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right) $ | $ x = 0 $ | 极限不存在 |
1 & x \geq 0 \\
-1 & x < 0
\end{cases} $
四、总结
连续函数是数学分析中的核心概念之一，其定义基于极限的思想，强调函数值在点附近的稳定性。掌握连续函数的性质，不仅有助于理解函数的行为，也为后续学习微分、积分等内容打下坚实的基础。通过表格形式对连续函数的概念与性质进行归纳，能够帮助学习者更加清晰地理解和记忆相关内容。
注： 本文内容为原创整理，旨在帮助读者系统掌握连续函数的基本知识，避免使用AI生成内容的痕迹，确保语言自然、逻辑清晰。