【特征多项式定义】在数学，特别是线性代数中，特征多项式是一个非常重要的概念。它用于研究矩阵的性质，尤其是与矩阵的特征值和特征向量密切相关。通过特征多项式的根，我们可以找到矩阵的特征值，从而进一步分析矩阵的结构、稳定性等。
一、特征多项式的定义
设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，那么其特征多项式定义为：
$$
p(\lambda) = \det(A - \lambda I)
$$
其中：
- $ \lambda $ 是一个标量（变量）；
- $ I $ 是单位矩阵；
- $ \det $ 表示行列式。
这个多项式关于 $ \lambda $ 的次数为 $ n $，即与矩阵的阶数相同。
二、特征多项式的性质
| 属性 | 描述 |
| 多项式形式 | $ p(\lambda) = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0 $ |
| 根的意义 | 特征多项式的根即为矩阵 $ A $ 的特征值 |
| 系数关系 | 系数与矩阵的迹、行列式等有关 |
| 可逆性 | 若 $ \det(A) \neq 0 $，则 $ 0 $ 不是特征值 |
| 重根情况 | 如果某个根有重数，则对应特征值有重数 |
三、特征多项式的应用
| 应用场景 | 说明 |
| 求特征值 | 解特征多项式 $ p(\lambda) = 0 $ 得到特征值 |
| 分析矩阵性质 | 如对角化、相似变换等 |
| 判断矩阵可逆性 | 若 $ p(0) \neq 0 $，则矩阵可逆 |
| 控制系统 | 在控制系统中用于判断系统的稳定性 |
| 矩阵分解 | 用于谱分解、Jordan标准形等 |
四、示例
假设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} $，则其特征多项式为：
$$
p(\lambda) = \det\left( \begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 3-\lambda \end{bmatrix} \right) = (2 - \lambda)(3 - \lambda)
$$
展开后为：
$$
p(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda + 6
$$
解得特征值为 $ \lambda = 2 $ 和 $ \lambda = 3 $。
五、总结
特征多项式是理解矩阵本质的重要工具，它不仅帮助我们找到矩阵的特征值，还反映了矩阵的许多关键性质。掌握其定义、性质及应用，对于深入学习线性代数具有重要意义。
关键词：特征多项式、特征值、矩阵、行列式、线性代数