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行列式的性质详解

2025-07-16 18:09:05

问题描述：

行列式的性质详解，有没有大佬愿意点拨一下？求帮忙！

农八代4890

问答领域知识达人

2025-07-16 18:09:05

【行列式的性质详解】行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于矩阵运算、方程组求解、几何变换等领域。理解行列式的性质有助于更深入地掌握矩阵的结构与运算规律。以下是对行列式主要性质的总结，并以表格形式展示。

一、行列式的定义

行列式是一个与方阵相关的标量值，记作 $ A $ 或 $ \det(A) $，其计算依赖于矩阵中元素的位置和排列方式。对于一个 $ n \times n $ 的矩阵 $ A = (a_{ij}) $，行列式的值可以通过展开法、三角化或其他方法计算。

二、行列式的性质总结

序号	性质描述	说明
1	行列式与转置	$ \det(A^T) = \det(A) $ 即：行列式与其转置矩阵的行列式相等。
2	行列式与交换行（列）	若交换矩阵的两行或两列，则行列式变号。例如：$ \det(A') = -\det(A) $，其中 $ A' $ 是交换两行后的矩阵。
3	行列式与相同行（列）	若矩阵中有两行或两列完全相同，则行列式为0。即：$ \det(A) = 0 $。
4	行列式与倍乘行（列）	若将矩阵的一行（列）乘以常数 $ k $，则行列式也乘以 $ k $。如：$ \det(kA) = k^n \det(A) $，其中 $ n $ 是矩阵阶数。
5	行列式与行（列）加法	若某一行（列）是其他两行（列）的和，则行列式可拆分为两个行列式的和。例如：若第 $ i $ 行为 $ a_i + b_i $，则 $ \det(A) = \det(A_1) + \det(A_2) $。
6	行列式与零行（列）	若矩阵有一行或一列全为0，则行列式为0。即：$ \det(A) = 0 $。
7	行列式与三角矩阵	对于上三角或下三角矩阵，行列式等于主对角线元素的乘积。例如：$ \det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} $。
8	行列式与矩阵乘法	若 $ A $ 和 $ B $ 是同阶方阵，则 $ \det(AB) = \det(A)\det(B) $。
9	行列式与逆矩阵	若 $ A $ 可逆，则 $ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} $。
10	行列式与相似矩阵	若 $ A $ 与 $ B $ 相似（即存在可逆矩阵 $ P $ 使得 $ B = P^{-1}AP $），则 $ \det(A) = \det(B) $。

三、总结

行列式的性质不仅体现了其在数学中的结构性，也在实际应用中具有重要意义。通过理解这些性质，可以更高效地进行矩阵运算、判断矩阵是否可逆、分析线性方程组的解等。掌握行列式的性质，是学习线性代数的重要基础。

备注：以上内容基于常见的行列式理论整理，适用于大学本科阶段的线性代数课程教学或自学参考。

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