【三角函数的全部公式】在数学中，三角函数是研究三角形和周期性现象的重要工具。它们广泛应用于物理、工程、计算机科学等多个领域。为了便于学习和查阅，本文对常见的三角函数公式进行系统总结，并以表格形式呈现，帮助读者更清晰地掌握相关内容。
一、基本定义
设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
| 函数名称 | 定义式 | 反函数（部分） |
| 正弦 | sinα = y | arcsin(y) |
| 余弦 | cosα = x | arccos(x) |
| 正切 | tanα = y/x | arctan(y/x) |
| 余切 | cotα = x/y | arccot(y/x) |
| 正割 | secα = 1/x | arcsec(x) |
| 余割 | cscα = 1/y | arccsc(y) |
二、基本关系式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 倒数关系 | sinα = 1/cscα；cosα = 1/secα；tanα = 1/cotα |
| 商数关系 | tanα = sinα / cosα；cotα = cosα / sinα |
| 平方关系 | sin²α + cos²α = 1；1 + tan²α = sec²α；1 + cot²α = csc²α |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 三角函数值变化规律 |
| α + 2π | sin(α + 2π) = sinα；cos(α + 2π) = cosα |
| -α | sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα |
| π - α | sin(π - α) = sinα；cos(π - α) = -cosα |
| π + α | sin(π + α) = -sinα；cos(π + α) = -cosα |
| π/2 - α | sin(π/2 - α) = cosα；cos(π/2 - α) = sinα |
| π/2 + α | sin(π/2 + α) = cosα；cos(π/2 + α) = -sinα |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差公式 | sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ |
| 余弦和差公式 | cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ |
| 正切和差公式 | tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ) |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | sin(2α) = 2 sinα cosα |
| 余弦倍角公式 | cos(2α) = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α |
| 正切倍角公式 | tan(2α) = 2 tanα / (1 - tan²α) |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2] |
| 正切半角公式 | tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)] |
七、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinα cosβ | [sin(α + β) + sin(α - β)] / 2 |
| cosα cosβ | [cos(α + β) + cos(α - β)] / 2 |
| sinα sinβ | [cos(α - β) - cos(α + β)] / 2 |
八、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinA + sinB | 2 sin[(A + B)/2] cos[(A - B)/2] |
| sinA - sinB | 2 cos[(A + B)/2] sin[(A - B)/2] |
| cosA + cosB | 2 cos[(A + B)/2] cos[(A - B)/2] |
| cosA - cosB | -2 sin[(A + B)/2] sin[(A - B)/2] |
九、反三角函数基本性质
| 函数名称 | 定义域 | 值域 | 奇偶性 |
| arcsin | [-1, 1] | [-π/2, π/2] | 奇函数 |
| arccos | [-1, 1] | [0, π] | 非奇非偶 |
| arctan | (-∞, +∞) | (-π/2, π/2) | 奇函数 |
| arccot | (-∞, +∞) | (0, π) | 非奇非偶 |
十、常用角度对应值表
| 角度（°） | 弧度（rad） | sinα | cosα | tanα |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90 | π/2 | 1 | 0 | 无定义 |
通过以上内容的整理，可以系统地了解三角函数的基本概念、常用公式及特殊角度的数值。这些知识不仅有助于数学学习，也为实际应用提供了理论基础。希望本文能为您的学习或研究提供参考与帮助。