【三角函数的基本公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握三角函数的基本公式是学习和应用这些知识的基础。以下是对三角函数基本公式的总结与归纳。
一、基本定义
设一个直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则：
- $\sin\theta = \frac{a}{c}$
- $\cos\theta = \frac{b}{c}$
- $\tan\theta = \frac{a}{b}$
此外，还有三个倒数函数：
- $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} = \frac{c}{a}$
- $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} = \frac{c}{b}$
- $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{b}{a}$
二、基本恒等式
三角函数之间存在一些重要的恒等关系，有助于简化计算和证明问题。
| 公式 | 表达式 |
| 倒数关系 | $\sin\theta = \frac{1}{\csc\theta}$, $\cos\theta = \frac{1}{\sec\theta}$, $\tan\theta = \frac{1}{\cot\theta}$ |
| 商数关系 | $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$, $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ |
| 平方关系 | $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ |
三、诱导公式（角度变换）
当角度发生变化时，三角函数的值也会发生变化，但遵循一定的规律。
| 角度变换 | 公式 |
| $\sin(-\theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(-\theta)$ | $\cos\theta$ |
| $\tan(-\theta)$ | $-\tan\theta$ |
| $\sin(\pi - \theta)$ | $\sin\theta$ |
| $\cos(\pi - \theta)$ | $-\cos\theta$ |
| $\sin(\pi + \theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(\pi + \theta)$ | $-\cos\theta$ |
| $\sin(2\pi - \theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(2\pi - \theta)$ | $\cos\theta$ |
四、和差角公式
用于计算两个角的和或差的三角函数值。
| 公式 | 表达式 |
| $\sin(\alpha \pm \beta)$ | $\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ |
| $\cos(\alpha \pm \beta)$ | $\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ |
| $\tan(\alpha \pm \beta)$ | $\frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$ |
五、倍角公式
用于计算一个角的两倍或三倍的三角函数值。
| 公式 | 表达式 |
| $\sin(2\theta)$ | $2\sin\theta\cos\theta$ |
| $\cos(2\theta)$ | $\cos^2\theta - \sin^2\theta$ 或 $2\cos^2\theta - 1$ 或 $1 - 2\sin^2\theta$ |
| $\tan(2\theta)$ | $\frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ |
六、半角公式
用于计算一个角的一半的三角函数值。
| 公式 | 表达式 |
| $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ | $\pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ |
| $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ | $\pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ |
| $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$ | $\frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$ 或 $\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ |
七、积化和差与和差化积公式
用于将乘积形式转换为和差形式，或反之。
| 公式 | 表达式 |
| $\sin A \cos B$ | $\frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ |
| $\cos A \sin B$ | $\frac{1}{2}[\sin(A + B) - \sin(A - B)]$ |
| $\cos A \cos B$ | $\frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ |
| $\sin A \sin B$ | $-\frac{1}{2}[\cos(A + B) - \cos(A - B)]$ |
| $\sin A + \sin B$ | $2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ |
| $\sin A - \sin B$ | $2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ |
| $\cos A + \cos B$ | $2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ |
| $\cos A - \cos B$ | $-2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ |
通过以上内容，我们可以系统地了解三角函数的基本公式及其应用方式。掌握这些公式不仅有助于解题，还能提升对三角函数整体结构的理解。