问点到面的距离公式是什么

【点到面的距离公式是什么】在三维几何中，点到平面的距离是一个常见的计算问题。掌握这个公式不仅有助于理解空间几何关系，还能在工程、物理、计算机图形学等领域发挥重要作用。本文将总结点到面的距离公式，并以表格形式清晰展示相关知识点。

一、点到面的距离公式总结

点到平面的距离是指从一个点出发，沿着垂直于该平面的方向到平面的最短距离。设点 $ P(x_0, y_0, z_0) $，平面的一般方程为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

则点 $ P $ 到该平面的距离 $ d $ 的公式为：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

其中：

- $ A, B, C $ 是平面法向量的分量；

- $ D $ 是平面常数项；

- 分母表示法向量的模长；

- 分子是点代入平面方程后的绝对值。

二、关键知识点对比表

三、实例说明

假设点 $ P(1, 2, 3) $，平面方程为 $ 2x - y + 3z - 6 = 0 $，求点到平面的距离。

代入公式：

$$

d = \frac{2(1) - 1(2) + 3(3) - 6}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{2 - 2 + 9 - 6}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{3}{\sqrt{14}}

$$

所以，点到该平面的距离为 $ \frac{3}{\sqrt{14}} $。

四、小结

点到面的距离公式是解析几何中的重要内容，能够帮助我们快速计算空间中点与平面之间的最短距离。通过掌握公式及其应用，可以更高效地解决实际问题。希望本文对您理解这一概念有所帮助。